让你烧脑让你晕的阿基里斯与乌龟的悖论

让你烧脑让你晕的阿基里斯与乌龟的悖论

古希腊联军第一勇士阿基里斯永远也追不上一只乌龟,这是为什么呢?公元前495年,古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯,希腊联军第一勇士,海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基里斯出生后,忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中,使他全身刀枪不入,唯有脚踝被忒提斯手握着,没有浸到冥河水,这是他唯一的弱点。在特洛伊战争中他被敌人射中脚踝而死。

有一天,阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说:"别看你跑得快,你永远也追不上我。" 阿基里斯不相信的问:"为什么呢?"乌龟向他解释道:开始比赛时,阿基里斯在后方A处,乌龟在前方B处,二者同时起跑。阿基里斯要追上乌龟,首先要追上乌龟先跑的一段路程AB,但是在这段时间乌龟也在向前跑,当阿基里斯到达B处时,乌龟已经跑到了C处,还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。阿基里斯会继续跑BC这一段,但是这段时间乌龟也没闲着啊,跑到了D处,虽然CD小于BC,但是阿基里斯还是没有追上乌龟。以此类推,阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小,但是永远都不会变为零。所以,阿基里斯就永远追不上乌龟啦。

这就是著名芝诺悖论。所谓悖论,一般是指同一个命题中有两个对立相反的结论。有的人嗤之以鼻,这是谬论!悖论本来指的就是推理的结论与常识相矛盾,却不能发现逻辑上的漏洞。同样似是而非的东西,如果一眼就能看得穿,不需要什么脑筋,叫"胡搅蛮缠"。如果让人反复思考仍不得其解,那就上了档次,叫"悖论"。悖论的价值在于促进人们思考。它的解决往往带来的观念的突破和新的理论建立。

而芝诺对于阿基里斯追乌龟问题的解释不是推出对立的结论,而是完全违背常理,其实称为诡辩更加合适。 这个诡辩错在哪?要推翻这个诡辩其实也不难。芝诺将一个追及过程分割成无限多份,并且认为:既然段数无穷多,累加起来的时间自然也是无穷长,所以追不上。但是实际上,由于阿基里斯速度大,乌龟速度小,两人之间的距离会越来越短。如果阿基里斯追了无穷多段,下次再追及的距离就是无穷小。这就是无穷小到底是不是0的问题。也就是第二次数学危机的核心问题。

据此古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出了一系列关于大发1分快三不可分性的哲学悖论,二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末,数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述,类似于0.999……等于1的情境。那么究竟我们是如何到达目的地的呢?二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题,还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。

芝诺比孔子略迟,比庄子要早。庄子曰:"一尺之捶,日取其半,万世不竭。" 说的就是一根一尺长的木棍,每天砍掉它的一半,无论经过多久都砍不光。的确,我们可以把木棍分割成越来越短的无限多份,但是加起来依然是一根木棍那么长,这与芝诺悖论多么相似!

今天所有学过高等数学的读者也许都能看出二分悖论的误区,那就是将一个无穷级数的项数无穷与结果无穷混为一谈了。在适当的单位下,二分悖论所涉及的无穷级数是1/2+1/4+…,项数是无穷的,结果却并不因项数无穷就成为无穷,而仅仅是1,是有限的。因此无论是那无穷多个中点,还是两两之间那无穷多段路径,都能在有限时间内走完。

当然,二分悖论并不是等到高等数学出现之后才被反驳的。在历史上,亚里士多德在《物理学》一书中就给出了一个很漂亮的反驳,要点是指出芝诺只对空间进行了无穷分割,却忘记了同样的手法也可用于时间。只要对时间和空间作同样的无穷分割,走完芝诺分割出的无穷多个中点(或两两之间的无穷多段路径)就只需有限的时间,因为那实际上是从用有限时间中分割出的无穷多个时间点(或两两之间的无穷多段时间)来完成的。亚里士多德还指出,无论对空间、时间还是其他连续之物,我们谈论它们的"无穷"时必须区分两种含义:一种是分割意义上的无穷,一种是延伸意义上的无穷,芝诺混淆了两者故而得出了错误结论。

亚里士多德的这一表述跟我们通过无穷级数表述的看法有异曲同工之处,"分割意义上的无穷"相当于项数无穷,"延伸意义上的无穷"相当于结果无穷,将两者混为一谈正是二分悖论的误区。只不过亚里士多德用的是芝诺自己的手法,可谓"以子之矛,攻子之盾"或曰"以毒攻毒",是论辩的高招。

虽然同属古希腊的亚里士多德就已对芝诺的悖论做出过相当一针见血的分析或反驳,但跟那个时代其他很多如今看来幼稚的学说相比,芝诺的悖论显然有着强得多的生命力,时至今日,仍不仅能将普通人绕进去,甚至能让哲学家陷入争论。从数学的角度看,上面这两种芝诺的悖论实际上是对涉及无穷的种种精微之处的早期困惑。从这种困惑中,芝诺还提出过对无穷大的否定,理由是——据后人记述——"事物必须与自身一样多,不能更多也不能更少",而无穷大不与自身一样多,因此该被否定。什么叫做无穷大不与自身一样多?一种很可能的猜测是,芝诺注意到了无穷集合的一个特点,那就是无穷集合可以与自身的某些真子集一一对应。空间是无限可分的。而无限的细分部分加在一起无法等于整体。

第二个是公元前212年阿基米德(Archimedes),他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远。这问题归结为无穷级数求和的问题。他用个巧妙的方法算出等比级数的和。说明阿基里斯和乌龟的速度如果成比例的话,整个追赶过程是在有限的长度中。

在这种特例之外的情况,一直到了十九世纪柯西关于收敛性研究后才有了明确的答案。这结果是按照阿基米德的思路和收敛性研究的结果。结论是按照阿基里斯比乌龟快的条件,可能有两种结果。如果这个追赶的路程相加起来的无穷级数求和收敛,这个过程是在有限的长度中,否则不是有限的。在后者情况阿基里斯确实追不上乌龟。

从这些方面看,芝诺可谓是最早对无穷这一概念进行深入思考的古希腊先贤,芝诺的悖论绝非幼稚之论,甚至也并非普通的诡辩,而是一段漫长探索的起点。为无穷这一概念建立可靠基础后来成了数学家和逻辑学家长期努力的目标。德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)在与保罗·伯奈斯(Paul Bernays)合著的《数学基础》一书中曾经表示,从数学上讲,能否真正解决芝诺的悖论,关键是能否给出一个关于连续统的自洽的数学理论。这就把芝诺的悖论当做了那时正处于热议中的数学基础研究的重要组成部分("连续统"指的是实数集,是数学基础研究的重要对象)。

我们可以编出一个不收敛的例子如下:乌龟领先阿基里斯1尺,当阿基里斯赶上这1尺时,乌龟又爬了1/2尺,阿基里斯赶上这1/2尺时,乌龟又爬了1/3尺,阿基里斯赶上这1/n尺时,乌龟又爬了1/(n+1)尺,如此等等。阿基里斯确实比乌龟快,它们的距离每次都在缩短,但确实永远也追不上。这个赋值的故事是调和级数求和,结果是无穷大。这时芝诺的推理与事实相符了,悖论成了佯谬,要纠正的是常识而不是推理。我们一般不再考虑这种情况了,专注于有争议的收敛情况的解释。

到了这里,大家都觉得这个悖论已经被破解了。其实不然。阿基米德的思路确实是沿着芝诺追赶过程的逻辑走。把这个过程描写成无穷级数求和的问题,给出整个追赶是在多长的范围内。芝诺的逻辑说这个差距在追赶的过程中永远存在,不会是零,所以不会被超越。对应着无穷级数求和是一个逼近的过程,它可以无限逼近它的极限值,但永远不会达到。因此阿基米德和现代级数收敛计算的结果只是给出了悖论常识一方可能被超越时的边界数值,而没有跨过这永远不会为零的间隙。

在收敛的情况下,阿基里斯事实上能够达到这个极限点从而超越,然而在逻辑上,这与无穷级数求和只能无限逼近它的极限值仍然构成悖论矛盾的双方。到底阿基里斯能不能追上乌龟,等价于这无穷级数求和能不能等于它的极限值。这就要涉及到数学上实无穷和潜无穷的哲学争论了。实无穷认为无穷是可以达到的,当阿基里斯追上乌龟时便是这种情况,这时无穷级数的和等于它的极限值。潜无穷认为无穷是一个过程,不是实在的东西。在这个观点下,无穷级数求和只能不断逼近它的极限,而不是等于它。这个观点导致阿基里斯永远陷在追赶乌龟的过程中。

毕达哥拉斯学派主张1>0.9999... 是赞成潜无穷观点。用实无穷虽然可以解释许多结果,但是它的使用产生出很多问题,很多人并不支持。在他以后的亚里士多德倾向潜无穷但在阿基里斯与乌龟的问题上含糊其辞,这时大家对无穷都很头疼,以后的数学家从欧几里德开始,都尽量回避无穷的问题,专注于谈得清的有限问题。一直到牛顿和莱布尼茨的微积分,又采用了实无穷的概念,将导数表示为两个无穷小之比,积分为许多无穷小的加权和,得出丰硕的成果。实无穷的思想回潮和滥用,又产生了很多问题和混乱,以致贝克莱把这些矛盾组合成悖论来反对微积分,导致数学第二次危机。到了魏尔斯特拉斯,他驱逐了实无穷,由潜无穷的概念发展出严谨的极限概念,重铸分析的基础。百多年后,康托尔又在集合论中将实无穷请回来。在20世纪60年代,鲁滨逊又把无穷小量请了回来,从而建立了非标准分析。数学的直觉主义学派如今仍然反对实无穷。以致希尔伯特感叹说:"无穷是一个永恒的谜!"

芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论的破解,经过两千多年兜了一圈又回到实无穷与潜无穷的争论中去。今日人们实用主义地在不同场合分别使用这两种概念。这当然是一种未澄清的矛盾状态。到现在,中外数学,物理和哲学期刊里还不时有着讨论实无穷,潜无穷及芝诺悖论的论文。争论仍然没有结束。

由上述问题可以看出,在没有极限这个工具之前,人们遇到诸如阿基里斯不能跑过乌龟这样的悖论时,显得束手无策。而且无穷学说的提出,引起了数学界的巨大混乱。即使伟大的数学家牛顿和莱布尼茨创立微积分时,还没有给出极限严密的数学定义,直到柯西这个大神出现,他给出了极限的数学定义,正是有了极限这个工具才能解决了让无数数学家烦恼不已的问题。从这个角度,我们称柯西是近现代数学分析的奠基人一点儿都不为过,把极限称为高数的灵魂就应该是理所当然。

最后让我们用英国哲学家阿尔弗雷德·怀特海(Alfred Whitehead)的话来为芝诺的悖论盖棺论定。怀特海曾经表示,虽然所有人都不认同芝诺的结论,但"每个世纪都认为他值得反驳",这就非常了得,因为"文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰"。所以我们在分析问题的时候,千万不要被惯性思维误导,在问题的关键中寻找漏洞,也许可以将看似坚不可摧的逻辑悖论破解!

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